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第一章 函数、极限、连续›§1.4 连续与间断 1/126
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limx→0 ( 1/x − ln(1+x)/(x sin x) ) = ?
正确答案 1/2
解析思路

这是 0/0 型极限。直觉上，分子 1/x 单独发散，分母 x sin x → 0，必须把两项合到一起看。 通分后用泰勒展开把分子展到 x³ 阶，分母 x · sin x 用等价无穷小代换为 x²，就能看清极限值。

关键：分子展开必须到三阶，否则前两阶相消后看不到结果。

不跳步解析
1

通分：

原式 = limx→0 [(x sin x − ln(1+x)) / (x · x sin x)]
2

分母用 sin x ~ x 代换：

≈ limx→0 [(x sin x − ln(1+x)) / x²]
3

分子泰勒展开到 x³：

x sin x = x² − x⁴/6 + ...
ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − ...
4

代入并化简：

分子 = x² − x + x²/2 − x³/3 + ... = x²/2 + 高阶无穷小
原式 = limx→0 (x²/2) / x² = 1/2
相关知识点
泰勒公式（Maclaurin 展开）
ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − ...，sin x = x − x³/6 + ...
等价无穷小代换
x → 0 时 sin x ~ x、tan x ~ x、ln(1+x) ~ x，可在分母直接代换
本解析由 AI 模型实时生成，可能存在错误或不完整，请以教材和老师讲解为准。
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